Ở video trước, chúng ta đã nhắc về định nghĩa epsilondelta của giới hạn, Mình được biết nếu như giới hạn của f khi x tiến tới c bằng L, thì theo định nghĩa, với mọi giá trị epsilon dương, nó sẽ cho mình biết f gần với L như thế nào, sẽ luôn tồn tại một giá trị delta dương, và giá trị này sẽ cho ta biết khoảng cách từ c sao cho nếu x thuộc khoảng delta c thì f sẽ thuộc khoảng epsilon của L. Vậy nếu mình tìm được một delta với mọi epsilon thì L chính là giới hạn của f khi x tiến tới c. Và các bạn có thể nghĩ rằng định nghĩa này khá trừu tượng. Mà mình cần ứng dụng nó nữa. Và việc mình làm trong video này là chứng minh một giới hạn nào đó tồn tại.

Ở đây thì mình có hàm số f bằng 2x với mọi giá trị x khác 5. Còn khi x bằng 5, thì f sẽ chỉ bằng x. Vậy nên mình có thể viết ở đây là 5 Hàm số sẽ bằng 5 khi x bằng 5 Mình đã vẽ đồ thị của f ở đây. Ở gần như mọi giá trị của x, hàm số bằng 2x. Còn tại x bằng 5, điểm này không còn thuộc f bằng 2x nữa, nó sẽ ở đây. Giờ mình sẽ tìm giới hạn của f khi x tiến tới 5. Được rồi. Khi x tiến tới 5, f sẽ tiến tới 10 Bạn thấy nó sẽ tiến dần về 10 ở đây. Và bạn có thể dự đoán rằng giới hạn của f khi x tiến tới 5 sẽ bằng 10. Nó có vẻ là như vậy. Nhưng bây giờ thì chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa epsilondelta để chứng minh cái này.

Mình sẽ cần xác định delta theo epsilon. Và với một giá trị epsilon bất kỳ, mình tìm được một giá trị delta tương ứng. Hay bạn cũng có thể hiểu là mình sẽ cần xác định delta dưới dạng một hàm số của epsilon. Vậy nên chúng ta có thể viết delta sẽ bằng với hàm số của epsilon, và hàm số này xác định với mọi epsilon dương. Nếu có một giá trị epsilon nào đó và thế giá trị đó vào hàm số, mình sẽ được một delta tương ứng. Và nếu mình làm điều tương tự với mọi giá trị của epsilon tương ứng với một delta, và x thuộc delta c, thì giá trị f tương ứng sẽ thuộc epsilon L, thì giới hạn của chúng ta sẽ tồn tại.

Bây giờ mình sẽ xét phần thuộc khoảng delta c trước. Ở đây sẽ là 5 cộng delta còn đây sẽ là 5 trừ delta. Và đó sẽ là khoảng của ta. Bây giờ mình sẽ suy nghĩ làm sao để có thể lập ra một công thức tính delta theo epsilon. Vậy làm sao để chúng ta có thể biểu diễn các giá trị thuộc khoảng này nhưng khác 5. Mình đang quan tâm tới những thứ thuộc khoảng delta của 5, chứ không phải là 5. Nó chắc chắn phải nhỏ hơn. Thuộc khoảng của c nhưng không bằng c. Vậy nó sẽ là tất cả các x thoả mãn x trừ 5 nhỏ hơn delta. Nó sẽ biểu diễn tất cả x ở đây. Giờ chúng ta sẽ thử biển đổi biểu thức bên trái của bất đẳng thức này sao cho nó giống với biểu thức này ở đây.

Còn biểu thức ở bên phải thì sẽ được biến đổi thành một hàm số của delta. Sau đó ta có thể nói là nếu biểu thức bên phải là hàm số delta của epsilon, còn biểu thức bên trái lại như thế này, thì mình có thể sẽ xác định được delta theo epsilon. Mình sẽ bắt đầu làm nhé. Nếu mình đưa x trừ 5 về dạng f trừ L, với x khác 5, thì f sẽ bằng với 2x. Và giới hạn giả định sẽ bằng 10. Vậy giờ mình chỉ cần đưa biểu thức này về dạng 2x trừ 10. Cách dễ nhất để làm điều này là mình sẽ nhân 2 vế của bất đẳng thức cho 2. Mà 2 nhân với giá trị tuyệt đối của một số cũng bằng giá trị tuyệt đối của 2 nhân với chính số đó.

Nếu mình nhân 2 cho giá trị tuyệt đối a nó sẽ bằng giá trị tuyệt đối của 2a. Vậy ở vế bên trái, mình sẽ được giá trị tuyệt đối của 2x trừ 10 và nó sẽ nhỏ hơn biểu thức bên phải tức là nhỏ hơn 2 delta. Vậy ở vế bên trái mình có gì? Đây là f khi x khác 5, còn đây là giới hạn. Vậy mình sẽ viết lại là f trừ L nhỏ hơn 2 delta với mọi giá trị thực của x khác 5. Đây là f và là giới hạn của mình luôn. Thật thú vị nhỉ? Mệnh đề này gần như giống với cái mình có ở đây, trừ việc vế phải chúng hơi khác nhau. Cái này tính theo epsilon, còn cái này tính theo delta Vậy làm sao mình có thể xác định delta sao cho 2 delta bằng epsilon? Giờ mình sẽ xác định delta theo hàm số của epsilon.

Mình sẽ biến đổi 2 delta bằng epsilon. Hoặc chia 2 cho 2 vế, mình sẽ được delta bằng epsilon trên 2. -để mình đổi màu khác. Nếu mình có delta bằng epsilon trên 2, thì mệnh đề ở đây sẽ thành giá trị tuyệt đối của f trừ L, thay vì nhỏ hơn 2 delta thì nó sẽ nhỏ hơn 2 nhân epsilon trên 2. Nghĩa là nhỏ hơn epsilon. Cái chính ở đây là nếu bạn có một số epsilon dương bất kì miễn là delta của mình bằng epsilon trên 2 với mọi x thuộc khoảng này, thì giá trị f trừ L tương ứng sẽ thuộc khoảng epsilon của giới hạn của ta. Và nó sẽ phải đúng với mọi epsilon dương. Chắc bạn hiểu cách nó hoạt động rồi. Nếu bạn có một giá trị epsilon ví dụ như nó thuộc khoảng 0,5 của giới hạn thì epsilon sẽ là 0,5.

Vậy khoảng của nó sẽ là từ 10 cộng epsilon, tức là bằng 10,5 tới 10 trừ epsilon, là bằng 9,5. Mà chúng ta đã có công thức delta bằng với epsilon trên 2, nó sẽ là 0,25. Vậy nên x sẽ thuộc khoảng từ 4,75 đến 5,25. Và chỉ cần x thuộc khoảng từ 4,75 đến 5,25, không tính 5, thì f tương ứng của mình sẽ nằm giữa 9,5 và 10,5. Vậy là, với mọi giá trị epsilon, mình chỉ cần áp dụng công thức này để tìm ra delta, miễn là epsilon là một số thực dương. Vậy là với mọi giá trị epsilon thực dương, mình sẽ được giá trị delta tính bằng công thức này. Vì giá trị tuyệt đối của x trừ 5 nhỏ hơn delta, với delta được xác định theo công thức này.

https://youtu.be/87IKWfJTn2sỞ video trước, chúng ta đã nhắc về định nghĩa epsilondelta của giới hạn, Mình được biết nếu như giới hạn của f khi x tiến tới c bằng L, thì theo định nghĩa, với mọi giá trị epsilon dương, nó sẽ cho mình biết f gần với L như thế nào, sẽ luôn tồn tại một800. Chứng minh giới hạn bằng định nghĩa epsilon-delta | AP Giải Tích AB | Khan Academy